Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah kumpulan titik yang dibentuk oleh bilangan nyata dan bilangan khayal, dalam bilangan kompleks. Bilangan kompleks dalam teknik listrik digunakan untuk menggambarkan sifat arus listrik bolak-balik. Suatu bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk :

W = a + jb

Keterangan :
W = Bilangan Kompleks

a dan b = Bilangan nyata (bilangan real) : Bilangan nyata atau bilangan real dalam matematika adalah suatu bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Bilangan nyata meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional.

j = Bilangan khayal (bilangan imaginar) : Bilangan khayal atau bilangan imaginar adalah bilangan yang memiliki sifat i² = -1. Bilangan i diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :

x² + 1 = 0
atau secara ekuivalen :
x² = -1
atau juga sering dituliskan  sebagai
x = √-1

Dalam bilangan kompleks ada lima jenis operasi yang sering digunakan, yaitu kesamaan, penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Misal diketahui dua bilangan kompleks yaitu :
P = a + jb
Q = c + jd

a. Persamaan : dua bilangan kompleks adalah sama jika dan hanya bilangan nyata bilangan khayal sama.

P = Q     bila    a = b    dan    c = d

b. Penjumlahan : Penjumlahan dua buah bilangan kompleks adalah dengan menjumlahkan masing-masing bilangan nyata dan bilangan khayal.

P + Q = ( a + c ) + j ( c - d )

c. Pengurangan  : Pengurangan dua bilangan kompleks adalah dengan mengurangkan masing-masing bilangan nyata dan bilangan khayal.

P - Q = ( a - c ) + j ( c + d )

d. Perkalian : Perkalian dua bilangan kompleks dilakukan seperti parkalian aljabar biasa, kemudian hasil kali yang sejenis dijumlahkan.

P . Q  = ( a + jb ) . ( C + jd)
          = ac + j²bd + jbc + jad
          = ( ac - bd ) + j ( bc + ad )

e. Pembagian : Pembagian dua buah bilangan kompleks dilakukan dengan menggunakan kompleks sekawan dari pembagi dengan kata lain bilangan khayal pada pembagi usaha hilang.

Bilangan kompleks juga memiliki besaran dan arah sudut :
W = a + jb
     = M.cos θ + jM.sin θ
     = M (cos θ + j sin θ)

keterangan :
M = modulus harga sebenarnya bilangan kompleks
θ = sudut arah dari bilangan kompleks

Bila bilangan kompleks dituliskan dalam bilangan polar menjadi :
W = a  + jb
     = M (cos θ + j sin θ)
     = M ∠ θ

keterangan :
M = √a² + b²
θ = arc tg ^b/_a

Untuk penulisan dengan bilangan eksponensial menggunakan dasar theorema Euler.
e^jθ = cos θ + sin θ

Jadi persamaan eksponensial menjadi :
W = a + bj
     = M.(cos θ + j sin θ)
     = M ∠ θ
     = M . e^jθ

Contoh soal :

1. Suatu beban pada rangkaian listrik memiliki nilai impedansi yang dituliskan dengan bilangan kompleks Z = (5 + j4)Ω, berapakah nilai impedansi jika dituliskan dalam bentuk polar? 

Jawab:

2. Diketahui 2 buah besaran dituliskan dengan menggunakan bilangan kompleks yaitu A = (4 + j5)Ω dan B = (3 - j2)Ω. maka berapakah hasil dari A + B, A - B, A . B, dan A/B ?

Jawab :
a. A + B :

b. A - B :

c. A . B :

d. A/B :